Аннотация. Рассматриваются современные тенденции развития математического моделирования как компьютерного инструмента решения практических задач. Описывается методология построения моделей и отмечаются изменения, возникшие в области моделирования в последнее десятилетие, в том числе с учетом сетевых возможностей. Особое внимание уделено проблеме адекватности моделирования.

Abstract. Current tendencies in development of mathematical modeling and simulation as a computer tool for solving practical problems are described. Methodology of model design is presented and the changes arisen in the field during the last decade are discussed, in particular Internet-related ones. Special attention is given to the problem of simulation adequacy.

   Математическое моделирование как научное направление еще очень молодо, и, судя по всему, его эволюция в рамках компьютерно-технологических сдвигов продолжается. Обобщающие публикации и монографии, довольно многочисленные в англоязычных странах [1-5] на русском языке появляются довольно редко и порой не успевают за бурным прогрессом модельно-обоснованных методов анализа и управления. Кроме того, основная масса этих публикаций не касается моделирования как общенаучной дисциплины или направления компьютерных технологий и ориентирована на отдельные задачи или области применения [6-10]. Редким и относительно недавним исключением является монография [11], в которой проблемы моделирования рассматриваются с общих позиций, вне привязки к конкретному типу объектов.
   В целом можно сказать, что эти публикации вольно или невольно подводят итог определенным этапам развития моделирования как области научной и практической деятельности человека. Опыт моделирования систем на самых разных направлениях человеческой деятельности позволяет нам как расставить общие акценты на достижениях и особенностях этого направления на пройденных этапах, так и рассмотреть основные тенденции, сложившиеся за прошедшее после этого время.
   Настоящая публикация является первой попыткой автора подвести некоторые итоги развития моделирования как научного направления и как области человеческой деятельности. Эти изменения в основном определяются возрастанием информационного потенциала науки и общества в целом, компьютеризацией и резким усилением сетевых коммуникаций.
   Основные черты современного математического моделирования связаны с тем, что в последнее десятилетие математическое моделирование быстро теряет "академические" черты чисто научного и узкопрофессионального направления. Это относится не только к теоретическим вопросам, таким, например, как "типизация" математических моделей (феноменологические модели, системные модели и все более набирающие силу виртуальные модели) или как проблема адекватности моделей, понимаемая в самом широком смысле. Не менее важны многочисленные проблемы, возникающие при практическом использовании методов и результатов моделирования. В отличие от академической трактовки моделирования (например, как области вычислительной математики), в практике модельных задач большое внимание приходится уделять проблеме взаимоотношения моделирования с "внешним миром". Внешний мир - источник идей и данных для моделирования, в нем живут как заказчики конкретных исследований, так и "конечные потребители" компьютерной продукции. Поэтому в область моделирования вторгаются проблемы, никак не укладывающиеся в академические рамки, в том числе и разные аспекты общения с "заказчиком" модели - лицом, для которого и в интересах которого создается модель.

   Так получилось, что в наиболее развернутом виде общетеоретические итоги моделирования как "вычислительной" компьютерной науки представлены в обобщающей монографии [11]. Поэтому мы будем апеллировать к положениям этой книги как к своеобразному эталону и именно с ними будем сравнивать изменения, происходящие в моделировании в последние годы. Общая идея монографии [11] - формулировка и рассмотрение проблемы математического моделирования как триады "модель - алгоритм - программа". Под моделью при этом понимается ""эквивалент" объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.". Выбор вычислительных алгоритмов - следующий этап, а разработка программ, переводящих модель и алгоритм "на понятный компьютеру язык", завершает создание рабочего инструмента исследователя. Готовая триада тестируется в "пробных" экспериментах. На этом этапе посредством цепочки усложнений (иерархии все более полных моделей) обеспечивается ее адекватность. После этого можно переходить к "опытам", дающим "все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта".
   Построение моделей представляет собой "применение фундаментальных законов природы, вариационных принципов, аналогий, иерархических цепочек", а процесс построения модели включает в себя следующие этапы ([11], стр. 25):

1. "Cловесно-смысловое описание объекта или явления" ("формулировка предмодели");
2. "Завершение идеализации объекта" и упрощение описания;
3. Переход "к выбору или формулировке закона (вариационного принципа, аналогии и т.п.)" и его записи в математической форме;
4. "Завершает формулировку модели ее "оснащение" " (задание начального состояния и параметров объекта). Этот этап особенно важен, поскольку:
       "И, наконец, формулируется цель исследования модели (найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т.д.)";
5. Модель изучается всеми доступными методами (в том числе с применением различных подходов и вычислительных методов);
6. В результате исследования модели достигается поставленная цель. При этом "должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами) ее адекватность - соответствие объекту и сформулированным предположениям".
      Последовательность этапов моделирования, соответствующая этому разбиению, представлена нами на рис. 1.
   Рис.1.
      Плодотворность методологии математического моделирования при решении разнообразных задач за прошедшие годы была неоднократно подтверждена многочисленными примерами из области механики, термодинамики, биологии, экономики и социальных наук [6-10, 11, 12-17, 18-19]. В частности, многочисленные примеры успешного решения задач, включая и "трудно формализуемый человеческий фактор" в рамках моделей экономических процессов, моделей соперничества и распределения власти, рассмотрены в [11] .

   Основные тенденции в развитии математического (компьютерного) моделирования в последние годы связываются не столько с решением "микро" проблем, таких как представленное выше соотношение "модель-алгоритм-программа". Акценты моделирования все более смещаются к "макро-проблемам". Действительно, аппаратно-программные средства решения микро-проблем за последнее время практически перестали ограничивать возможности моделирования даже в самых крупных проектах. Во всем мире наряду с базовыми языками программирования для моделирования широко используются десятки специализированных языков и коммерчески доступных систем моделирования, а возможности сетевого общения открывают доступ к самым современным методологиям и идеям [3, 5].
   Другое дело, что в некоторых "продвинутых" задачах время от времени может возникать свой круг алгоритмических и программных проблем, связанных с особенностями задачи (например, "уникальной" сложностью вроде задач метеорологии или плазменной динамики, где принципиальную роль играет неустойчивость процессов). В середине 1990-х гг., когда физики заинтересовались биологическими моделями эволюции, им пришлось столкнуться с описанием размножающегося "вида" животного мира, который в максимуме развития включал сотни тысяч особей [20,21]. Возникшие микро-проблемы моделирования пришлось решать, что и было сделано в рамках языковых средств С++.
   Обычно же вместо микро-задач моделирования на первое место выходят макро-задачи. В качестве характерного примера современной задачи, в которой используется моделирование, можно взять информационно-технологическую систему RPMS (Refinery @ Petrochenmical Modeling System) для нефтегазовых комплексов [22]. Ее основная цель - интеграция частных задач вертикально-интегрированных нефтяных компаний с целью получения адекватных (т.е. обоснованных и реализуемых) управленческих решений. В соответствии с этим основная макро-задача моделирования состоит в интеграции частных моделей в целостную моделирующую структуру. Наряду с привычными "академическими" моделями, такими как гидродинамические модели оценки нефтяных месторождений или оптимизационные модели их обустройства, система включает финансово-экономическое моделирование (cash-flow анализ), логистические модели материальных потоков и т.п..
   Аналогичные макро-задачи характерны и для других современных применений [19, 23, 24, 25]. Можно сказать, что за последние годы произошел кардинальный перелом в понимании требований, предъявляемых к математической модели. Модель нужна не только и не столько для того, чтобы "найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т.д." [11]. Теперь модель рассматривается как элемент целостной постановки задачи управления и все в большей степени становится информационно-технологическим инструментом ее решения.

   Современные тенденции в математическом моделировании можно сравнить с традиционной "академической" схемой [11]. Суть происходящих изменений состоит в том, что дополнительно к стандартным этапам (рис. 1), в практике информационно-технологического управления неизбежно добавляются два "обрамляющих" этапа.
   Открывающий этап - "анализ пространства задачи", т.е. рассмотрение того, что требуется и что может быть получено от создаваемой модели. На этом этапе прежде всего выясняется желательный или необходимый тип модели - (феноменологическая или системная; о виртуальных моделях пока говорится чрезвычайно редко). Здесь же уточняется не очень акцентированный в академических постановках задач пункт - выбор вектора состояния, описывающего проблемную ситуацию. С этим связывается, в частности, ожидаемая детальность получаемых описаний, точность анализа возможных проблемных ситуаций и форма модельно-обоснованных предсказаний и рекомендаций. Вообще говоря, на этом этапе может быть принято решение и о том, что создание количественной модели не требуется (или невозможно).
   Особый вопрос на этом этапе состоит в выборе языка описания "предмодели" - переводе специфической дисциплинарной терминологии на язык переменных состояния [26, 27]. Так, в частности, обстоит дело с "переводом" на язык моделей анамнестически-синдромального мышления врача при моделировании биомедицинских задач (например, острых отравлений с возможным летальным исходом [28]).
   Другой "дополнительный" этап - замыкающий. Если в академической постановке моделирование заканчивается вычислительным экспериментом, дающим "все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта", то в практике моделирования этого явно недостаточно.
   Одна из основных проблем этого этапа - представление результатов моделирования заказчику. В реальных задачах это означает кропотливую работу по сбору и обработке выходных данных, их анализ и документирование. В любом случае требуется "обратный перевод" с языка моделирования на дисциплинарные языки, причем в более сложных случаях речь может идти о разработке специального пользовательского интерфейса. Если эти вопросы не были рассмотрены на открывающем этапе, их приходится поднимать заново.
   Некоторые авторы склонны считать важной задачей заключительного этапа модельно-обоснованных исследований и работу по пропаганде и распространению своих достижений. Действительно, моделирование сложных систем обходится дорого, так что созданная модель достойна того, чтобы о ней знали и ее использовали другие исследователи [5].
   Ясно, что появление дополнительных этапов приводит к изменению и "основных" этапов [11], рассмотренных нами выше. Теперь пункт 4, на котором "формулируется цель исследования модели (найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т.д.)" стал лишним. Все проблемы, связанные с постановкой задачи и целями исследования решаются в задачах управления не в процессе моделирования объекта, а до его начала.

Рис.2.

   В первую очередь изменение требований к моделированию коснулось оценки "адекватности" моделей. Об адекватности модели как практического инструмента приходится судить не только и даже не столько по тому, насколько близко математическое описание физике реальной жизни (см. выше характеристику адекватности модели в [11] как ее "соответствие объекту и сформулированным предположениям").
   Часто случается, что рекомендации и решения, полученные на основе некоторой заведомо "неадекватной" модели удовлетворяют существующим реальным потребностям. В таких случаях более адекватные модели не разрабатываются совсем или, даже будучи разработанными, остаются невостребованными. В качестве примера из истории науки, иллюстрирующего влияние практических потребностей на судьбу математических моделей, рассмотрим переход от "неадекватного" геоцентризма в модели мира Птолемея к "адекватной" гелиоцентрической модели Коперника.
   Более тысячи лет практические нужды "заказчиков" (первоначально связанные в древнем Египте с предсказанием небесных явлений и разливов Нила, а в более позднее время и с управлением морскими экспедициями по небесным светилам), удовлетворялись птолемеевой моделью мира. То, что эта модель, как хорошо известно, неадекватна реальной картине Солнечной системы, для практики было неважно - количественные расчеты (при включении в модель эпициклов и других усложняющих элементов) получались достаточно точными и удовлетворяли всех.
   Гелиоцентрическая модель Коперника с самого начала отражала реальную физическую структуру объекта - Солнечной системы. Однако сам Коперник при математических расчетах считал орбиты планет круговыми, так что рассчитанные им эфемериды по точности были не лучше птолемеевых. Адекватно отражая структуру Солнечной системы, коперникова модель, тем не менее, долго оставалась втуне. Только когда Иоганн Кеплер, открыв законы движения планет, учел эллиптичность орбит (тем самым введя дополнительный расчетный параметр), точность расчета эфемерид резко возросла. Модель Коперника сразу вошла в повседневную практику прикладной астрономии. В течение нескольких столетий она работала в задачах морской и воздушной навигации в режиме "off-line". В последние десятилетия математическая модель в форме "задачи двух тел" или численного интегрирования уравнений движения используется и непосредственно в режиме "on-line". В контур управления в реальном времени модели включаются, в частности, при управлении космическими аппаратами и при решении других задач.

   Суждение об адекватности моделей в теории и практике управления диктуется решаемой задачей. Очевидно, что "академически" проверить адекватность модели, на которой получен прогноз "ядерной зимы", в деталях невозможно. Моделируемые процессы сложны и мало изучены, число "правдоподобно" оцениваемых параметров очень велико и т.д. Однако поставленной задаче - предупредить мир о характере и масштабах возможной катастрофы - модель вполне адекватна.
   Интегрированная модель управления сложной системой (фирмой, предприятием или отраслью) адекватна своей цели только тогда, когда она позволяет руководству фирмы достигать поставленных целей. Если эта цель - максимизация прибыли, то "адекватное" модельное решение должно описывать текущее состояние системы, ее отношения с внешним миром и возможности получения прибыли.
   Однако если какую-то задачу можно решить без строгой математической модели, например, ограничившись "эвристическими" рекомендациями, алгоритмами или решениями, дело до реального моделирования объекта может и не дойти. Таким образом, отсутствие математического описания парадоксальным образом можно считать простейшей "адекватной" моделью процесса в случае отсутствия самой необходимости в моделировании.
   Об адекватности моделей можно говорить и в том случае, когда вопрос о физическом соответствии модели объекту не ставится вообще. Для одного класса моделей эта идея была доведена до логического конца (теория Вапника-Червоненкиса восстановления зависимостей на небольших выборках [29]). Феноменологическая модель в этом случае представляет собой зависимость, восстанавливаемую по выборке малого объема. Все такие модели одинаково далеки от "физики" процесса, порождающего выборку. Тем не менее, среди них существует наилучшая модель, при применении которой "риски" минимальны.
   Адекватность модели связана только с возможностью ее практического использования. Не надо думать, что правильные выводы и рекомендации получаются только на основании "физически правильной" картины мира. Это заблуждение мы уже обсуждали на примере моделей Птолемея и Коперника. Однако среди специалистов по анализу систем широкую поддержку находит и другая столь же неоднозначная мысль: если модель адекватна, то она позволяет "не только определять количественные характеристики изучаемых процессов, но и обнаруживать качественно новые явления" ([11], стр.283). Общение с "узкими" специалистами, хорошо знающими специфику своих задач, заставляет специалиста по управлению критически относиться к этой точке зрения.
   На самом деле, любые "новые явления", обнаруженные в вычислительном эксперименте, требуют подтверждения в эксперименте реальном. Ведь установление адекватности модели в принципе продолжается на любом этапе работы с моделью - и делается это именно сравнением с практикой. Отсюда следует, что если при моделировании обнаружено "качественно новое явление" - различие ожидаемого по модели и реального ходом процесса, то более вероятно не открытие нового явления, а необходимость уточнения самой модели. Самый известный случай "открытия на кончике пера" - предсказание Леверье новой планеты путем анализа математической модели движения Урана. Планета Плутон была действительно открыта астрономом Галле в указанной точке небесной сферы. Однако можно только догадываться, сколько аналогичных "открытий" не подтвердилось. В истории астрономии об этом обычно не говорится.

   Говоря о новых тенденциях в математическом моделировании, нельзя не обратить внимания на эволюционный процесс смены "парадигм моделирования". Этот процесс, как кажется, характерен для многих дисциплинарных областей, где применяются методы и средства теории управления. До сих пор в работах по теории моделирования этот процесс не рассматривался как "смена поколений" математических моделей1. Тем не менее, сейчас можно было бы говорить уже о трех или четырех таких поколениях. На первых этапах речь чаще всего идет о математической записи отдельных феноменологических наблюдений над реальными объектами. Для них характерна простота описаний, типична линейность уравнений и малая размерность (часто воспроизводится всего одна или две переменных). Методы анализа связаны в основном с получением аналитических решений и графическим рассмотрением на фазовой плоскости [10, 12]. Затем появляются модели, описывающие объект "во всей его полноте" - в них объект представлен в виде "системы" - модель отражает его структуру и законы, по которым он функционирует. Модели становятся существенно нелинейными, а чисто математический аппарат дополняется логико-семантическим. Возрастает размерность, достигая нескольких десятков. Такие модели называются "сложными", "большими", а рабочим инструментом на этом этапе становится вычислительный эксперимент [3, 30]. На следующем этапе эти модели объединились в информационно-технологические комплексы для работы с реальными фирмами, предприятиями и отраслями [22, 23, 31]. На этом этапе меняется уже не только количественная сторона дела (в задачах математического программирования в системе RPMS, например, рассматриваются тысячи переменных и ограничений). Появляются новые требования в адекватности модели - адекватность понимается как макро-характеристика всего моделирующего комплекса. Наконец, трудно не заметить, что в настоящее время начинается переход к очередному поколению математических моделей - моделям виртуального мира. Виртуальное моделирование можно определить как воспроизведение трехмерного мира компьютерными средствами. Резко возрастает объем обрабатываемой и воспроизводимой информации (так, количество одних лишь визуализируемых "деталей" достигает многих тысяч даже в простейших случаях).
   Любопытно, что модели третьего поколения по своей математической сущности могут быть как "феноменологическими", так и "системными" - на содержании этих понятий мы остановимся чуть ниже.
   Процесс смены поколений моделей можно проиллюстрировать на многих дисциплинарных примерах. В небесной механике это переход от феноменологической модели Птолемея к системной модели Коперника-Кеплера, а затем к современным моделям (таким, как совокупные модели движения объектов в космическом пространстве в системах слежения, используемых в космонавтике и в военном деле, или как виртуальные модели небесных явлений в мультимедийных системах Redshift [32]).
   В биомедицине первое поколение моделей появилось в самом конце XIX в. - модель сердца как "эластичного резервуара" О. Франка [33] представляла собой типичную феноменологическую модель (модель данных). Многочисленные модели физиологических процессов [15-17] охарактеризовали приход второго поколения моделей - системных моделей процессов жизнедеятельности, использовавшихся для исследования процессов управления искусственными органами. Развитие тренажерных моделей (в том числе мультимедийных, например, воспроизводящих работу хирурга) характеризует начало третьего этапа [34].
   Наконец, такая же картина наблюдается в управлении технологическими процессами. Феноменологические модели передаточных функций, восстановленные по входо-выходным характеристикам объектов, сменились системными методами пространства состояний [24, 35]. Третий этап математического моделирования связан, как уже говорилось, с моделированием целостных систем - проектов, фирм, предприятий и отраслей. Виртуальное моделирование выступает в этой области как динамическое моделирование в реальном масштабе времени (в значительной части - в связи с тренажерными системами [5,19,36]).
   Говоря о России, можно вспомнить, что наука математического моделирования развивается с конца 1950-х - начала 1960-х гг.2 Многие фундаментальные проблемы прикладного моделирования, которые выше и были предметом обсуждения, были выявлены И. А. Полетаевым [37]. Он первым обратил внимание на утилитарность математических моделей и дал оригинальную классификацию моделей по целям их использования. По его мнению, "поисковая" модель должна использоваться для проверки гипотез. "Портретная" (она же демонстрационная) модель применяется для замены объекта в эксперименте (например, для тренажеров, что в то время рассматривалось едва ли не как научная фантастика). Наконец, "исследовательская модель" Полетаева в современном понимании означает ориентацию на сложный вычислительный эксперимент.
   И. А. Полетаев поднял и другой столь же важный круг вопросов - о принципиальной "субъективности" математического моделирования [38]. По меньшей мере, два его высказывания и сегодня заслуживают внимания:
   В задаче математического моделирования "кроме объекта моделирования и модели, обязательно присутствует субъект моделирования, лицо, усилиями и в интересах которого осуществляется модель". Роль субъекта моделирования оказывается решающей, ибо именно его цели, интересы и предпочтения формируют модель.
   Создание модели нужно не само по себе, а для решения практических задач, что только и может оправдать затрату сил на создание модели. Модель создается для того, чтобы работать: "Только полная реализация модели с ее "прогоном" через расчеты полностью окупает затраты на моделирование" [38].
   Связь кибернетических моделей с биологическими явлениями активно обсуждалась и А.А. Ляпуновым [39].

   В современной теории управления создаются и применяются математические модели двух основных типов (хотя в различных разделах теории эти типы и определяются по-разному).
   Для технологических объектов это деление соответствует "феноменологическим" и "дедуктивным" моделям [18]. Под феноменологическими моделями понимаются преимущественно эмпирически восстанавливаемые входо-выходные зависимости, как правило, с небольшим числом входов и выходов. Дедуктивное моделирование предполагает выяснение и описание основных физических закономерностей функционирования всех узлов исследуемого процесса и механизмов их взаимодействия. Дедуктивные модели намного богаче, они описывают процесс в целом, а не отдельные его режимы.
   Для биомедицинских объектов определение этих типов было дано американскими журналами "American Journal of Physiology" и "Journal of Applied Physiology", создавшими еще в 1984 г. объединенный Форум методологии моделирования, и давшими единую классификацию моделей для всех специализированных журналов Американского физиологического общества [40].
   Первый тип моделей - аналитические модели (или, точнее говоря, модели данных). "Модели данных - это модели, которые не требуют, не используют и не отображают каких-либо гипотез о физических процессах (системах), в которых эти данные получены". Второй тип моделей - системные модели (или модели систем). Это математические модели, которые "строятся в основном на базе физических законов и гипотез о том, как система структурирована и, возможно, о том, как она функционирует" [40].
   В классическом понимании к моделям данных (аналитическим моделям) относятся все модели математической статистики. В последнее время характерные макро-изменения наблюдаются и для этих моделей. Связь с "внешним миром" проникает в эту сферу моделирования как экспертно-статистические методы и системы [41], что существенно расширяет методологическую базу для принятия решений в задачах анализа данных и управления.
   Однако именно системные модели допускают возможность работы в технологиях виртуального моделирования - в разнообразных системах реального времени (операторские, инженерные, биомедицинские интерфейсы, разнообразные системы диагностики и тестирования и т.д. [19]). Можно ожидать поэтому, что именно системные модели составят ядро современного этапа в развитии математического моделирования, хотя в настоящее время во многих "квази-виртуальных" применениях (например, в медицине [34, 42]) используются и типичные феноменологические модели и модели данных, в чем-то стыкующиеся с "базами знаний" современного искусственного интеллекта [43].
   
   Способы использования математических моделей в задачах управления
   Вплоть до недавнего времени математические модели использовались в практике управления только как источник входных данных для систем управления. Примером может служить рассмотренная выше ситуация с моделями Солнечной системы. Какова бы ни была исходная динамическая модель движения небесных тел - птолемеева или коперникова, на практике она использовалась в режиме off-line для расчета эфемерид. С начала XIX в. они и применялись в задачах управления (навигации) как источник "опорных данных" для ведения процесса. Типичным примером такой задачи управления служит наведение телескопа на небесный объект. Моделирование технических систем на этапе проектирования для оптимизации их структуры и параметров продолжает эту традицию.
   Но развитие техники (прежде всего - появление компьютерных технологий) во многих дисциплинарных областях сделало возможным непосредственное включение моделей в "работающие системы". Необходимые для работы данные в этом случае считаются в режиме реального времени (on-line) на основе динамической модели. Это относится не только к полетам космических кораблей. В мультимедийных астрономических программах Redshift виртуальная картина неба на экране монитора, наблюдаемая с любого небесного тела в любой момент исторического времени, вычисляется on-line посредством решения модельной задачи двух тел или численного интегрирования законов движения [32].
   Вообще говоря, каждый из двух рассмотренных выше типов моделей имеет свои традиционные области применения. В практике управления отдельными технологическими процессами широко используются феноменологические модели. Простые по структуре, такие модели (обычно при числе переменных менее 10) достаточно хорошо отражают истинное поведение объекта в окрестности отдельных "режимов работы". В задачах управления, где цель управления часто состоит в компенсации возмущающих воздействий, уводящих процесс от желаемой рабочей точки, это вполне допустимо [19].
   Во многих других задачах принципиально применимы только системные модели. В статьях [19, 36] различные способы использования модели объекта в задачах управления технологическими процессами с точки зрения способа обработки информации, содержащейся в модели, рассмотрены подробно.
   Во многих случаях модель может входить в систему управления в форме блока, вычисляющего выходы некоторого объекта по ее входам. Часто в этом случае речь идет о развитии так называемого имитационного моделирования - динамическом моделировании объекта [19]. Динамическое моделирование характерно для различных задач реального времени, прежде всего, для компьютерных тренажеров. Так, в процессе тренажерного обучения действия оператора интерпретируются как входы модели системы (технологической, транспортной и т.п.), а выходы модели преобразуются в аудио-визуальный образ реакций системы на действия оператора. Такое моделирование осуществляется в реальном времени, что позволяет использовать его результаты в различных технологиях реального времени (от обнаружения неисправностей до интерактивного тренинга операторов).
   Особую область моделирования представляет собой создание "виртуальной реальности". Компьютерные игры, один из стабильно развивающихся секторов компьютерного рынка, стали мощным поставщиком идей и потребителем методов моделирования.

   Многие из рассмотренных выше положений можно проиллюстрировать практикой моделирования биологических процессов и явлений. Мы кратко рассмотрим в этой связи исследования, связанные с проблемой старения. Демографическим проблемы, связанным со старением и плохим воспроизводством населения, в последнее время уделяется все больше внимания [44, 45]. Исследования на человеческом материале в силу целого ряда обстоятельств часто не позволяют получить убедительных результатов. Проблема связи старения с генетическими (наследственными) факторами, условиями жизни и окружающей средой относятся к числу таких проблем. Эксперименты на животных с более простой генетической и физиологической организацией и с коротким жизненным циклом позволяют глубже понять общебиологические основы старения и, в принципе, начать разработку мер по продлению жизни и предотвращению преждевременного старения у человека. Стандартные эксперименты чаще всего ставятся на популяциях плодовитых и короткоживущих насекомых (плодовая мушка Drosophila и средиземноморская мушка Ceratitis Capitata). Исследование последней имеет и самостоятельное прикладное значение, поскольку в ряде эта мушка является наиболее распространенным вредителем фруктовых плантаций, и уже около десяти лет выращивается в промышленных масштабах в Мексике в рамках программ биологической защиты урожая [46].
   "Академический" этап моделирования старения представлен классическими популяционно-генетическими моделями Фишера, физиологическими моделями, моделями "теории надежности" [47] и термодинамическими моделями. Переход к активным компьютерным методам исследования связан с переходом к методам Монте-Карло. Следуя давней традиции ([48]), физики с энтузиазмом берутся за решение кардинальных вопросов жизни, в данном случае за разработку моделей старения. Наиболее известна изящная bit-string модель бразильского физика Пенны (представляющая геном в виде строки двоичных сигналов) [49-51]. Однако, как и в случае анализа "жизни с точки зрения физика", результаты этой работы оказались интересными в основном для самих физиков и для широкой публики. Разрабатываемые вне связи с экспериментальными исследованиями, эти "модели старения" оказались абсолютно неадекватными с точки зрения биолога [52].
   Но новом этапе цели математического моделирования связаны в первую очередь с желанием усовершенствовать процесс извлечения информации о механизмах старения и защитных механизмах у экспериментальных животных на основе реальных наблюдаемых в эксперименте данных. Математические модели позволяют выдвигать биологически обоснованные и формально корректные гипотезы о таких механизмах и тестировать их. Поэтому не удивительно, что в последнее время практически все ведущие экспериментальные команды в мире, ведущие исследования механизмов старения на популяциях насекомых, включили в свой состав специалистов по моделированию.
   Общая цель этих работ, хотя и слабо формализованная, состоит в кардинальном изменении роли моделирования в экспериментальном исследовании живых систем. Вместо традиционного анализа "общих тенденций" и воспроизведения в модели средне-абстрактного объекта (организма или популяции), практика моделирования биосистем неуклонно движется к он-лайновому включению модели в сам процесс экспериментальных исследований. Результаты модельного исследования i-го эксперимента должны стать исходными позициями для постановки (i+1)-го. Можно даже сказать, рискуя вызвать справедливый гнев биологов-экспериментаторов, что сами экспериментальные исследования становятся средством верификация математической модели. Трудно ожидать, что в ближайшее время этот процесс завершится. Но сама цель становится все более очевидной [53].
   Характерным примером такого взаимодействия могло бы стать наше "компьютерное повторение" классических экспериментов Майнарда Смита [54], не будь оно проведено сорок лет спустя после самих экспериментов. Мы смогли в рамках единой модели (гомеостатическая модель старения) объединить две ранних теории старения, Теорию темпа жизни и Пороговую теорию [55, 56].
   Завершая краткий анализ биологического направления в моделировании, отметим, что технологически адекватным способом самого моделирования все в большей мере становится один из инструментов системы Matlab, а именно Simulink [57]. На последнем симпозиуме Международной Федерации по Автоматическому управлению (IFAC), посвященном моделированию в биомедицине [58], Simulink использовался примерно в каждой третьей работе.

   В отечественной практике слово "моделирование" отвечает английскому "Modelling" (или американскому "Modeling"), т.е. построению модели и ее анализу, включая оценку адекватности. Последнее возможно и без применения компьютера. Англоязычному "simulation" традиционно соответствует или "имитационное моделирование" или "вычислительный эксперимент", т.е. разработку компьютерной модели и работу с ней. В то же время "вычислительный эксперимент" и сам по себе присутствует в современной науке моделирования [3, 30]. Все эти термины на самом деле описывают определенный ряд технологических операций, которые выполняются в процессе создания, верификации и использования математических моделей. Перечень этих операций дается, например, в [5].
   Говоря об управлении процессом моделирования, наиболее часто используют термины состояние (state), событие (event) и объект (entity - буквально "сущность"). В соответствии с этим сам процесс включает Event management, Queues management, Time management и Model management.
   Состояние в моделировании примерно отвечает понятию состояния в теории управления [14,34] - это совокупность переменных модели, описывающих систему в каждый момент времени. События - это действия, приводящие к изменению состояния системы. Объекты - это действительно сущности (объекты реального мира), представленные в модели. Для них определяется состояние, и на них производятся воздействия.
   Программа моделирования включает очередность событий (Event management, Queues management), в том числе допускается и случайный порядок событий. Time management определяет порядок счета времени (в простейшем случае время течет равномерно), а в случае моделирования нескольких процессов, протекающих в различных масштабах времени, можно прибегнуть к так называемому stepped simulation (пошаговому моделированию).
   Model management описывает взаимодействие модели с пользователем. Особую роль в последние годы приобрел "дружественный интерфейс" (аудиовизуальное представление результатов моделирования, 3D-графика). Кроме того, в сложных случаях Model management поддерживает устойчивость самого процесса моделирования, отслеживает окончание определенных стадий, получение нужного объема данных, переход к последующим этапам процесса и определяет момент окончания процесса.

   Математическое моделирование, некогда бывшее "terra incognita" для широких инженерных (и не только инженерных) слоев, за последние десятилетия резко изменилось. Произошел качественный скачок в разработке моделей, их верификации, в создании и использовании модельно-обоснованных методов исследования, в способах анализа и представления результатов моделирования.
   Академическое понимание и узкопрофессиональное использование методов моделирования уступает место широкому наступлению имитационных моделей в самых разных областях компьютеризации общества. Необходимость включения "задачи моделирования" в контекст реальных жизненных проблем делает неизбежной и разную трактовку некоторых принципиальных концепций моделирования, как в смысле modeling, так и в смысле simulation.
   За рамками настоящей публикации остаются многие "технологические" вопросы разработки моделей и имитационного моделирования. Например, наряду с использованием стандартных языков программирования (Fortran, C++, Pascal) продолжается разработка специализированных языков моделирования. Относительно полный список таких языков (более 20 известных разработок с краткой характеристикой) приведен в [5]. Любопытно, что в перечне специализированных средств моделирования в указанной энциклопедической статье не нашлось места для системы Matlab Simulink. Однако Интернет предоставляет возможность ознакомиться с этой системой в самом широком аспекте - весьма содержательная публикация [59] называется "Жизнь, Вселенная и Матлаб".
   Практика моделирования по-настоящему больших систем (транспортные сети крупных городов, промышленные фирмы и предприятия) показывает, что для такой работы исследовательской группе не хватит ни вычислительных возможностей, ни программных средств. Выход был найден в развитии компьютерных сетей и параллельных вычислений [5].
   Компьютерная экспансия посредством Интернета коснулась и моделирования как научного направления и прикладной сферы. В Интернете функционирует несколько десятков компьютерных конференций и рабочих групп. В Компьютерной энциклопедии [1, 5] приводится большой список сетевых адресов, что позволяет специалисту быть в курсе последних событий в одной из наиболее активно развивающихся областей человеческой деятельности - математического моделирования.

1. Encyclopedia of Computer Science. 4th edition. 2000. Grove's Dictionaries N.Y.
2. Fishwick P. 1995. Simulation Model Design and Execution. Prentice Hall, Englewoods Cliffs.
3. Ercolessi F. 1997. The role of Computer Experiments. http://www.sissa.it/furio/md/md/node4.html
4. 4. Law and Kelton W. 1991 Simulation modeling and analysis. McGraw Hill, N.Y.
5. Smith R. D. 2000. Simulation (encyclopedia article). http://www.modelbenders.com/encyclopedia/
6. Белоцерковский О.М. 1994. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука
7. Петров А. А. 1996. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М.: Наука
8. Коробейников В. П. 1986. Математическое моделирование катастрофических явлений. М. Знание.
9. Пархоменко В. П., Стенчиков Г. Л. 1986. Математическое моделирование климата. М. Знание.
10. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. 1975. Математическое моделирование в биофизике - М., Наука.
11. А.А. Самарский, А.П. Михайлов. 1997. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - М., Наука.
12. Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. 1978. Устойчивость биологических сообществ М.: Наука.
13. Антомонов Ю.Г. 1977. Моделирование биологических систем. Справочник. Киев. Наукова думка.
14. Новосельцев В.Н. 1978. Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств. Москва, Наука.
15. Шумаков В.И., Новосельцев В.Н., Сахаров М.П., Штенгольд Е.Ш. 1971. Моделирование физиологических систем организма. М. Медицина.
16. Гомеостаз на различных уровнях организации биосистем. 1991. (ред. В.Н. Новосельцев). Новосибирск, Наука.
17. Лищук В.А. 1990. Математические модели сердечно-сосудистой системы. Итоги науки и техники. Бионика, биокибернетика, биоинженерия (т.7) - М., ВИНИТИ.
18. Перельман И.И. 1982. Оперативная идентификация объектов управления. М., Энергоиздат.
19. Дозорцев В.М. 1996. Динамическое моделирование в оптимальном управлении и автоматизированном обучении операторов технологических процессов. Ч.1. Задачи оптимального управления // Приборы и системы управления, 7: 46-51.
20. Stauffer D. 1994. Monte Carlo simulation for biological aging. Brazilian Journ of Physics 24: (4) 900-906.
21. Penna TJP. 1995. A bit-string model for biological aging. Journ of Statistical Physics 78: (5/6) 1629-1633.
22. Соркин Л.Р. 1999. Достижения ИПУ РАН в разработке и внедрении информационных технологий управления в нефтегазовом комплексе. Международная Конференция по проблемам управления. Сборник пленарных докладов. Москва, ИПУ., с. 172-180.
23. Буянов Б. Б., Легович Ю. С., Лубков Н. В., Поляк Г.Л. 1996. Построение систем подготовки управляющих решений с использованием имитационного моделирования Приборы и системы управления. 12: 36 - 40.
24. Бахур А.Б. 2000. Системные идеи в современной инженерной практике. М.: Пров-пресс.
25. Канцель А.В., Червоненкис А.Я. 1990. Мультиструктурная модель гидротермального геохимического поля // Геология рудных месторождений. №1, с. 9-20.
26. Vorontsov I.N. 1987. On the conceptual basis of a scientific knowlegde system langauge / Abstr. of 8th Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science. Moscow, USSR, Aug 17-22, v.4, pt.2, pp.240-242.
27. Новосельцев В.Н. 1998. Междисциплинарное моделирование: возможный подход к анализу катастроф / Автоматика и Телемеханика, 2, стр.101-111.
28. Дагаев В.Н., Казачков В.И., Литвинов Н.Н., Новосельцев В.Н. 1994. Об использовании математических подходов к совершенствованию диагностики и лечения отравлений / Токсикологический вестник - №6: 33-36.
29. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. 1983. (ред. В.Н. Вапник) М.,: Наука.
30. Попов Ю. П., Самарский А.А. 1983. Вычислительный эксперимент. М. Знание.
31. Трахтенгерц Э. Л. 1998. Компьютерная поддержка принятия решений. М., Синтэг.
32. Redshift-3. - Maris Multimedia (CD-ROM) - Applications 1- 4.
33. Frank O. 1895. Zeitschr.Biol.. Bd 32. S 370-437.
34. Kofranek J., Svacina S. 2000. Multimedia simulation guide to clinical physiology of diabetes. In: E.Carson and E.Salzsieder (Eds.) Modelling and Control in Biomedical Systems 2000. Transactions of IFAC Symposium, Karlsburg/Greifswald, Germany, 30 March - 1 April 2000. pp. 129-134
35. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. 1970. Пространство состояний в теории управления. М.: Мир.
36. Дозорцев В.М. 1996. Динамическое моделирование в оптимальном управлении и автоматизированном обучении операторов технологических процессов Ч.2. Компьютерные тренажеры реального времени. // Приборы и системы управления, № 8, с. 41-50.
37. Полетаев И.А. 1966. О математических моделях элементарных процессов в биогеоценозах // Проблемы кибернетики, вып. 16, с.76-90.
38. Полетаев И.А. 1973. О математическом моделировании // Проблемы кибернетики, вып.27, с.143-151.
39. Ляпунов А.А. 1972. О кибернетических вопросах биологии. Проблемы кибернетики, вып.25, М:Наука, с. 5-40.
40. Di Stefano III, J.J. 1984. The modeling methodology forum: an expanded department. Additional guidelines / American Journal of Physiology, No 1.
41. Мандель А.С. 1996. Экспертно-статистические системы в задачах управления и обработки информации. Часть I. Приборы и системы управления. 12: 34-36.
42. Радченко С.В., Еремин С.А., Халитов Ф.Я. 1996 . Реализация математической модели отравления ФОВ на персональной ЭВМ // II Международная конференция и дискуссионный научный клуб "Новые информационные технологии в медицине и экологии" - Ялта-Гурзуф - 1996 - с.104 - 105.
43. Поспелов Г.С. 1988. Искусственный интеллект - основа новой информационной технологии - М., Наука.
44. Hayflick L. 1998. How and why we age. Experimental. Gerontoljgy 33: (7/8) 639-653
45. Лищук В. А., Мосткова Е. В. 1994. Основы здоровья. Изд. РАМН, Москва.
46. Carey JR, Liedo P. 1999. Measuring mortality and reproduction in large cohorts of the Mediterranean fruit fly. p. 111-124. In: Studies of Aging-Springer Laboratory Manual. H. Sternberg and P. S. Timiras (Editors), Springer, New York,
47. Гаврилов Л. А., Гаврилова Н. С. 1991. Биология продолжительности жизни. 2 изд., М.: Наука.
48. Шредингер А. 1960. Жизнь с точки зрения физика. М.: Мир
49. De Almeida RMC, Moss de Oliveira S and Penna TLP 1998. Theoretical approach to biological aging. Physica A 253: (1-4) 366-378.
50. De Oliveira PMS, Moss de Oliveira S and Stauffer D 1997. Searching for Eve through Monte Carlo simulation of biological ageing. Theory in Biosciences 116: (1) 3-10.
51. Penna TJP and Stauffer D. 1995. Efficient Monte-Carlo simulation of biological aging. International Journal of Modern Physics C - Physics and Computers. 6: (2) 233-239
52. Pletcher SD and Neuhauser C. 2000. Biological aging - Criteria for modeling and a new mechanistic model. Intern Journ of Modern Physics - C. 11: (3) 525-546.
53. V.N. Novoseltsev, J. Carey, P. Liedo, J.A. Novoseltseva, A.I. Yashin. 2000. The reversal of aging in virgin female fruit flies: an anticipation of oxidative damage hypothesis. Experimental Gerontology 35: 971-987.
54. Maynard Smith J .1966. Theories of aging. In: Krohn PL (Ed.) Topics in the biology of aging. Wiley Interscience, New York
55. Novoseltsev VN, J.A. Novoseltseva, Boyko S.I. and Yashin A.I. 2000 . Homeostasis and Aging. Slow-Fast Dynamics of Senescence and Death. In: E.Carson and E.Salzsieder (Eds.) Modelling and Control in Biomedical Systems 2000. Transactions of IFAC Symposium, Karlsburg/Greifswald, Germany, 30 March - 1 April 2000. pp. 71-76
56. Novoseltsev VN, J.A. Novoseltseva, and Yashin A.I. 2001. Early theories of aging - fusion and enhancement by mathematical modeling. Biogerontology (to be published).
57. MATLAB Reference Guide. 1992. The MathWorks Inc.
58. Modelling and Control in biomedical systems. 2000. IFAC Symposium , Karlsburg/Greifswald, Germany. Carson E. and Saltzsieder E. Eds., Preprints. London.
59. Dippery K.D. 1997. Life, the Universe and Matlab. ftp://ftp.engr.uky.edu/users/kdip/lum.ps.
60. Соловьев М.В. 1998. Эволюция геронтологии с точки зрения теории моделирования. Успехи геронтологии №2.

1. Однако существуют работы, где этапы развития конкретных научных дисциплин определяются как этапы осмысления их принципов в рамках все более совершенных математических моделей. Примером может служить геронтологическая наука (см. статью [60]).
2. В это время над проблемами моделирования работала большая группа ученых, в том числе И.А. Полетаев [37,38] и А.А. Ляпунов [39]. Многие вопросы математического моделирования решались на материале экологических систем (В.В. Меншуткин, Ю.М. Свирежев и Д.О. Логофет [12]) и процессов в живых организмах (Н.М. Амосов, В.А. Лищук [17], Ю.Г. Антомонов [13] и др., В этих работах участвовала и наша группа [15]).